Производная e^sin(x/2)

Вы ввели

    /x\
 sin|-|
    \2/
e      

$$e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

  /    /x\\
  | sin|-||
d |    \2/|
--\e      /
dx         

$$\frac{d}{d x} e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

---

Ответ:

$\frac{e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

Первая производная

           /x\
        sin|-|
   /x\     \2/
cos|-|*e      
   \2/        
--------------
      2       

$$\frac{e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Вторая производная

                       /x\
                    sin|-|
/   2/x\      /x\\     \2/
|cos |-| - sin|-||*e      
\    \2/      \2//        
--------------------------
            4             

$$\frac{\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{4}$$

Третья производная

                                     /x\
                                  sin|-|
/        2/x\        /x\\    /x\     \2/
|-1 + cos |-| - 3*sin|-||*cos|-|*e      
\         \2/        \2//    \2/        
----------------------------------------
                   8                    

$$\frac{\left(- 3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}$$

График