Производная e^(sin(x^2))

Вы ввели

    / 2\
 sin\x /
e       

$$e^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

  /    / 2\\
d | sin\x /|
--\e       /
dx          

$$\frac{d}{d x} e^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(x^{2} \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x^{2} \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $2 x e^{\sin{\left(x^{2} \right)}} \cos{\left(x^{2} \right)}$

---

Ответ:

$2 x e^{\sin{\left(x^{2} \right)}} \cos{\left(x^{2} \right)}$

Первая производная

                / 2\
       / 2\  sin\x /
2*x*cos\x /*e       

$$2 x e^{\sin{\left(x^{2} \right)}} \cos{\left(x^{2} \right)}$$

Вторая производная

                                                 / 2\
  /     2    / 2\      2    2/ 2\      / 2\\  sin\x /
2*\- 2*x *sin\x / + 2*x *cos \x / + cos\x //*e       

$$2 \left(- 2 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} + 2 x^{2} \cos^{2}{\left(x^{2} \right)} + \cos{\left(x^{2} \right)}\right) e^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

Третья производная

                                                                                         / 2\
    /       / 2\        2/ 2\      2    / 2\      2    3/ 2\      2    / 2\    / 2\\  sin\x /
4*x*\- 3*sin\x / + 3*cos \x / - 2*x *cos\x / + 2*x *cos \x / - 6*x *cos\x /*sin\x //*e       

$$4 x \left(- 6 x^{2} \sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} + 2 x^{2} \cos^{3}{\left(x^{2} \right)} - 2 x^{2} \cos{\left(x^{2} \right)} - 3 \sin{\left(x^{2} \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}\right) e^{\sin{\left(x^{2} \right)}}$$

График