Производная e^sin(x)^2

Вы ввели

    2   
 sin (x)
e       

$$e^{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

  /    2   \
d | sin (x)|
--\e       /
dx          

$$\frac{d}{d x} e^{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left(x \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $2 e^{\sin^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

4. Теперь упростим:

   $e^{\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

---

Ответ:

$e^{\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

Первая производная

             2          
          sin (x)       
2*cos(x)*e       *sin(x)

$$2 e^{\sin^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

                                              2   
  /   2         2           2       2   \  sin (x)
2*\cos (x) - sin (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*e       

$$2 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

                                                              2          
  /          2           2           2       2   \         sin (x)       
4*\-2 - 3*sin (x) + 3*cos (x) + 2*cos (x)*sin (x)/*cos(x)*e       *sin(x)

$$4 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 2\right) e^{\sin^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

График