Производная e^(t)*cos(t)

Вы ввели

 t       
E *cos(t)

$$e^{t} \cos{\left (t \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = e^{t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная $e^{t}$ само оно.

   $g{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

   В результате: $- e^{t} \sin{\left (t \right )} + e^{t} \cos{\left (t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\sqrt{2} e^{t} \cos{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

---

Ответ:

$\sqrt{2} e^{t} \cos{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$

Первая производная

        t    t       
cos(t)*e  - e *sin(t)

$$- e^{t} \sin{\left (t \right )} + e^{t} \cos{\left (t \right )}$$

Вторая производная

    t       
-2*e *sin(t)

$$- 2 e^{t} \sin{\left (t \right )}$$

Третья производная

                      t
-2*(cos(t) + sin(t))*e 

$$- 2 \left(\sin{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}\right) e^{t}$$