Производная e^(x/(2-x))

Вы ввели

   x  
 -----
 2 - x
E     

$$e^{\frac{x}{- x + 2}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{- x + 2}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{- x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 e^{\frac{x}{- x + 2}}}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 e^{- \frac{x}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 e^{- \frac{x}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}}$

Первая производная

                      x  
                    -----
/  1        x    \  2 - x
|----- + --------|*e     
|2 - x          2|       
\        (2 - x) /       

$$\left(\frac{x}{\left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{- x + 2}\right) e^{\frac{x}{- x + 2}}$$

Вторая производная

                              -x   
                             ------
/       x   \ /       x   \  -2 + x
|-1 + ------|*|-3 + ------|*e      
\     -2 + x/ \     -2 + x/        
-----------------------------------
                     2             
             (-2 + x)              

$$\frac{e^{- \frac{x}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{x}{x - 2} - 3\right) \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)$$

Третья производная

                                               -x   
              /                  2         \  ------
/       x   \ |     /       x   \     6*x  |  -2 + x
|-1 + ------|*|12 + |-1 + ------|  - ------|*e      
\     -2 + x/ \     \     -2 + x/    -2 + x/        
----------------------------------------------------
                             3                      
                     (-2 + x)                       

$$\frac{e^{- \frac{x}{x - 2}}}{\left(x - 2\right)^{3}} \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(- \frac{6 x}{x - 2} + \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)^{2} + 12\right)$$