Производная e^x/cos(x)

Вы ввели

   x  
  E   
------
cos(x)

$$\frac{e^{x}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   x      x       
  e      e *sin(x)
------ + ---------
cos(x)       2    
          cos (x) 

$$\frac{e^{x} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{e^{x}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                2   \   
  |    sin(x)   sin (x)|  x
2*|1 + ------ + -------|*e 
  |    cos(x)      2   |   
  \             cos (x)/   
---------------------------
           cos(x)          

$$\frac{2 e^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

  /         3           2              \   
  |    3*sin (x)   3*sin (x)   4*sin(x)|  x
2*|2 + --------- + --------- + --------|*e 
  |        3           2        cos(x) |   
  \     cos (x)     cos (x)            /   
-------------------------------------------
                   cos(x)                  

$$\frac{2 e^{x}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{3 \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{4 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + 2\right)$$