Производная (e)^x/(log(x))

Вы ввели

   x  
  E   
------
log(x)

$$\frac{e^{x}}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{e^{x} \log{\left (x \right )} - \frac{e^{x}}{x}}{\log^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x \log{\left (x \right )} - 1\right) e^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x \log{\left (x \right )} - 1\right) e^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   x          x   
  e          e    
------ - ---------
log(x)        2   
         x*log (x)

$$\frac{e^{x}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{e^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

/        1          2           2     \  x
|1 + --------- - -------- + ----------|*e 
|     2          x*log(x)    2    2   |   
\    x *log(x)              x *log (x)/   
------------------------------------------
                  log(x)                  

$$\frac{e^{x}}{\log{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{2}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{2}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

/        6            6           3           2           3           6     \  x
|1 - ---------- - ---------- - -------- - --------- + --------- + ----------|*e 
|     3    3       3    2      x*log(x)    3           2           2    2   |   
\    x *log (x)   x *log (x)              x *log(x)   x *log(x)   x *log (x)/   
--------------------------------------------------------------------------------
                                     log(x)                                     

$$\frac{e^{x}}{\log{\left (x \right )}} \left(1 - \frac{3}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{3}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{6}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2}{x^{3} \log{\left (x \right )}} - \frac{6}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$