Производная e^x/sin(x)

Вы ввели

   x  
  e   
------
sin(x)

$$\frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

  /   x  \
d |  e   |
--|------|
dx\sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   x             x
  e      cos(x)*e 
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$\frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

/                    2   \   
|    2*cos(x)   2*cos (x)|  x
|2 - -------- + ---------|*e 
|     sin(x)        2    |   
\                sin (x) /   
-----------------------------
            sin(x)           

$$\frac{\left(2 - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

/                           /         2   \       \   
|                           |    6*cos (x)|       |   
|                           |5 + ---------|*cos(x)|   
|                    2      |        2    |       |   
|    3*cos(x)   6*cos (x)   \     sin (x) /       |  x
|4 - -------- + --------- - ----------------------|*e 
|     sin(x)        2               sin(x)        |   
\                sin (x)                          /   
------------------------------------------------------
                        sin(x)                        

$$\frac{\left(- \frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 4 - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

График