Производная (e^x-1)/x

Вы ввели

 x    
e  - 1
------
  x   

$$\frac{e^{x} - 1}{x}$$

  / x    \
d |e  - 1|
--|------|
dx\  x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{e^{x} - 1}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x} - 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{x} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

Первая производная

 x    x    
e    e  - 1
-- - ------
x       2  
       x   

$$\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x} - 1}{x^{2}}$$

Вторая производная

     x     /      x\     
  2*e    2*\-1 + e /    x
- ---- + ----------- + e 
   x           2         
              x          
-------------------------
            x            

$$\frac{e^{x} - \frac{2 e^{x}}{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{2}}}{x}$$

Третья производная

    /      x\      x      x     
  6*\-1 + e /   3*e    6*e     x
- ----------- - ---- + ---- + e 
        3        x       2      
       x                x       
--------------------------------
               x                

$$\frac{e^{x} - \frac{3 e^{x}}{x} + \frac{6 e^{x}}{x^{2}} - \frac{6 \left(e^{x} - 1\right)}{x^{3}}}{x}$$

График