Производная e^x*tan(x)

Вы ввели

 x       
e *tan(x)

$$e^{x} \tan{\left(x \right)}$$

d / x       \
--\e *tan(x)/
dx           

$$\frac{d}{d x} e^{x} \tan{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + e^{x} \tan{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1\right) e^{x}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

/       2   \  x    x       
\1 + tan (x)/*e  + e *tan(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) e^{x} + e^{x} \tan{\left(x \right)}$$

Вторая производная

/         2        /       2   \                \  x
\2 + 2*tan (x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + tan(x)/*e 

$$\left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} + 2\right) e^{x}$$

Третья производная

/         2        /       2   \ /         2   \     /       2   \                \  x
\3 + 3*tan (x) + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 6*\1 + tan (x)/*tan(x) + tan(x)/*e 

$$\left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} + 3\right) e^{x}$$

График