Производная (e^z)/(z-i)

Вы ввели

   z 
  E  
-----
z - I

$$\frac{e^{z}}{z - i}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d z}\left(\frac{f{\left (z \right )}}{g{\left (z \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (z \right )}} \left(- f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}\right)$

   $f{\left (z \right )} = e^{z}$ и $g{\left (z \right )} = z - i$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

   1. Производная $e^{z}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

   1. дифференцируем $z - i$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

      2. Производная постоянной $- i$ равна нулю.

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(z - i\right) e^{z} - e^{z}}{\left(z - i\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(z - 1 - i\right) e^{z}}{\left(z - i\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(z - 1 - i\right) e^{z}}{\left(z - i\right)^{2}}$

Первая производная

   z        z   
  e        e    
----- - --------
z - I          2
        (z - I) 

$$\frac{e^{z}}{z - i} - \frac{e^{z}}{\left(z - i\right)^{2}}$$

Вторая производная

/      2        2    \  z
|1 - ----- + --------|*e 
|    z - I          2|   
\            (z - I) /   
-------------------------
          z - I          

$$\frac{e^{z}}{z - i} \left(1 - \frac{2}{z - i} + \frac{2}{\left(z - i\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/       6         3        6    \  z
|1 - -------- - ----- + --------|*e 
|           3   z - I          2|   
\    (z - I)            (z - I) /   
------------------------------------
               z - I                

$$\frac{e^{z}}{z - i} \left(1 - \frac{3}{z - i} + \frac{6}{\left(z - i\right)^{2}} - \frac{6}{\left(z - i\right)^{3}}\right)$$