Производная cos(a/x)

Вы ввели

   /a\
cos|-|
   \x/

$$\cos{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{a}{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a}{x}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{a}{x^{2}} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{a}{x^{2}} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$

Первая производная

     /a\
a*sin|-|
     \x/
--------
    2   
   x    

$$\frac{a}{x^{2}} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Вторая производная

   /                /a\\ 
   |           a*cos|-|| 
   |     /a\        \x/| 
-a*|2*sin|-| + --------| 
   \     \x/      x    / 
-------------------------
             3           
            x            

$$- \frac{a}{x^{3}} \left(\frac{a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

  /            2    /a\          /a\\
  |           a *sin|-|   6*a*cos|-||
  |     /a\         \x/          \x/|
a*|6*sin|-| - --------- + ----------|
  |     \x/        2          x     |
  \               x                 /
-------------------------------------
                   4                 
                  x                  

$$\frac{a}{x^{4}} \left(- \frac{a^{2}}{x^{2}} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )} + \frac{6 a}{x} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + 6 \sin{\left (\frac{a}{x} \right )}\right)$$