Производная cos(a*x)^(n)

Вы ввели

   n     
cos (a*x)

$$\cos^{n}{\left (a x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (a x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \cos{\left (a x \right )}$:

   1. Заменим $u = a x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      В результате последовательности правил:

      $- a \sin{\left (a x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{a n \cos^{n}{\left (a x \right )}}{\cos{\left (a x \right )}} \sin{\left (a x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- a n \sin{\left (a x \right )} \cos^{n - 1}{\left (a x \right )}$

---

Ответ:

$- a n \sin{\left (a x \right )} \cos^{n - 1}{\left (a x \right )}$

Первая производная

        n               
-a*n*cos (a*x)*sin(a*x) 
------------------------
        cos(a*x)        

$$- \frac{a n \cos^{n}{\left (a x \right )}}{\cos{\left (a x \right )}} \sin{\left (a x \right )}$$

Вторая производная

               /        2             2     \
   2    n      |     sin (a*x)   n*sin (a*x)|
n*a *cos (a*x)*|-1 - --------- + -----------|
               |        2            2      |
               \     cos (a*x)    cos (a*x) /

$$a^{2} n \left(\frac{n \sin^{2}{\left (a x \right )}}{\cos^{2}{\left (a x \right )}} - \frac{\sin^{2}{\left (a x \right )}}{\cos^{2}{\left (a x \right )}} - 1\right) \cos^{n}{\left (a x \right )}$$

Третья производная

               /                2         2    2               2     \         
   3    n      |           2*sin (a*x)   n *sin (a*x)   3*n*sin (a*x)|         
n*a *cos (a*x)*|-2 + 3*n - ----------- - ------------ + -------------|*sin(a*x)
               |               2             2               2       |         
               \            cos (a*x)     cos (a*x)       cos (a*x)  /         
-------------------------------------------------------------------------------
                                    cos(a*x)                                   

$$\frac{a^{3} n \cos^{n}{\left (a x \right )}}{\cos{\left (a x \right )}} \left(- \frac{n^{2} \sin^{2}{\left (a x \right )}}{\cos^{2}{\left (a x \right )}} + \frac{3 n \sin^{2}{\left (a x \right )}}{\cos^{2}{\left (a x \right )}} + 3 n - \frac{2 \sin^{2}{\left (a x \right )}}{\cos^{2}{\left (a x \right )}} - 2\right) \sin{\left (a x \right )}$$