Производная cos(pi/x)

Вы ввели

   /pi\
cos|--|
   \x /

$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

d /   /pi\\
--|cos|--||
dx\   \x //

$$\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi}{x}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

      /pi\
pi*sin|--|
      \x /
----------
     2    
    x     

$$\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

    /                  /pi\\ 
    |            pi*cos|--|| 
    |     /pi\         \x /| 
-pi*|2*sin|--| + ----------| 
    \     \x /       x     / 
-----------------------------
               3             
              x              

$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

   /              2    /pi\           /pi\\
   |            pi *sin|--|   6*pi*cos|--||
   |     /pi\          \x /           \x /|
pi*|6*sin|--| - ----------- + ------------|
   |     \x /         2            x      |
   \                 x                    /
-------------------------------------------
                      4                    
                     x                     

$$\frac{\pi \left(6 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{6 \pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} - \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График