Производная cos(pi/(z+1))

Вы ввели

   /  pi \
cos|-----|
   \z + 1/

$$\cos{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{z + 1}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(\frac{\pi}{z + 1}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = z + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(z + 1\right)$:

         1. дифференцируем $z + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\left(z + 1\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}$

Первая производная

      /  pi \
pi*sin|-----|
      \z + 1/
-------------
          2  
   (z + 1)   

$$\frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}$$

Вторая производная

    /                     /  pi \\ 
    |               pi*cos|-----|| 
    |     /  pi \         \1 + z/| 
-pi*|2*sin|-----| + -------------| 
    \     \1 + z/       1 + z    / 
-----------------------------------
                     3             
              (1 + z)              

$$- \frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{3}} \left(2 \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )} + \frac{\pi}{z + 1} \cos{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}\right)$$

Третья производная

   /                 2    /  pi \           /  pi \\
   |               pi *sin|-----|   6*pi*cos|-----||
   |     /  pi \          \1 + z/           \1 + z/|
pi*|6*sin|-----| - -------------- + ---------------|
   |     \1 + z/             2           1 + z     |
   \                  (1 + z)                      /
----------------------------------------------------
                             4                      
                      (1 + z)                       

$$\frac{\pi}{\left(z + 1\right)^{4}} \left(6 \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )} + \frac{6 \pi}{z + 1} \cos{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )} - \frac{\pi^{2}}{\left(z + 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{\pi}{z + 1} \right )}\right)$$