Производная cos(pi*x)/x

Вы ввели

cos(pi*x)
---------
    x    

$$\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{x}$$

d /cos(pi*x)\
--|---------|
dx\    x    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $- \pi \sin{\left(\pi x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \pi x \sin{\left(\pi x \right)} - \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

  cos(pi*x)   pi*sin(pi*x)
- --------- - ------------
       2           x      
      x                   

$$- \frac{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

    2             2*cos(pi*x)   2*pi*sin(pi*x)
- pi *cos(pi*x) + ----------- + --------------
                        2             x       
                       x                      
----------------------------------------------
                      x                       

$$\frac{- \pi^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + \frac{2 \pi \sin{\left(\pi x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{2}}}{x}$$

Третья производная

                                                   2          
  3             6*cos(pi*x)   6*pi*sin(pi*x)   3*pi *cos(pi*x)
pi *sin(pi*x) - ----------- - -------------- + ---------------
                      3              2                x       
                     x              x                         
--------------------------------------------------------------
                              x                               

$$\frac{\pi^{3} \sin{\left(\pi x \right)} + \frac{3 \pi^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{x} - \frac{6 \pi \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{x^{3}}}{x}$$

График