Производная cos(2/x)

Вы ввели

   /2\
cos|-|
   \x/

$$\cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

Первая производная

     /2\
2*sin|-|
     \x/
--------
    2   
   x    

$$\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Вторая производная

   /   /2\         \
   |cos|-|         |
   |   \x/      /2\|
-4*|------ + sin|-||
   \  x         \x//
--------------------
          3         
         x          

$$- \frac{1}{x^{3}} \left(4 \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{4}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

  /                /2\        /2\\
  |           2*sin|-|   6*cos|-||
  |     /2\        \x/        \x/|
4*|3*sin|-| - -------- + --------|
  |     \x/       2         x    |
  \              x               /
----------------------------------
                 4                
                x                 

$$\frac{1}{x^{4}} \left(12 \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{24}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{8}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$