Производная cos(log(cot(2*x)))

Вы ввели

cos(log(cot(2*x)))

$$\cos{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (2 x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (2 x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )} \tan^{2}{\left (2 x \right )} \cot{\left (2 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )} \tan^{2}{\left (2 x \right )} \cot{\left (2 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{4}{\sin{\left (4 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\frac{1}{\tan{\left (2 x \right )}} \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{4}{\sin{\left (4 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\frac{1}{\tan{\left (2 x \right )}} \right )} \right )}$

Первая производная

 /          2     \                    
-\-2 - 2*cot (2*x)/*sin(log(cot(2*x))) 
---------------------------------------
                cot(2*x)               

$$- \frac{1}{\cot{\left (2 x \right )}} \left(- 2 \cot^{2}{\left (2 x \right )} - 2\right) \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )}$$

Вторая производная

                  /                        /       2     \                      /       2     \                   \
  /       2     \ |                        \1 + cot (2*x)/*sin(log(cot(2*x)))   \1 + cot (2*x)/*cos(log(cot(2*x)))|
4*\1 + cot (2*x)/*|-2*sin(log(cot(2*x))) + ---------------------------------- - ----------------------------------|
                  |                                       2                                    2                  |
                  \                                    cot (2*x)                            cot (2*x)             /

$$4 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{\cot^{2}{\left (2 x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} - \frac{1}{\cot^{2}{\left (2 x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} - 2 \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

                  /                                               2                                                                              2                                                          \
                  |                                /       2     \                         /       2     \                        /       2     \                         /       2     \                   |
  /       2     \ |                                \1 + cot (2*x)/ *sin(log(cot(2*x)))   4*\1 + cot (2*x)/*sin(log(cot(2*x)))   3*\1 + cot (2*x)/ *cos(log(cot(2*x)))   6*\1 + cot (2*x)/*cos(log(cot(2*x)))|
8*\1 + cot (2*x)/*|4*cot(2*x)*sin(log(cot(2*x))) + ----------------------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------------- + ------------------------------------|
                  |                                                3                                   cot(2*x)                                  3                                    cot(2*x)              |
                  \                                             cot (2*x)                                                                     cot (2*x)                                                     /

$$8 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(\frac{\left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (2 x \right )}} \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{3}{\left (2 x \right )}} \cos{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} - \frac{4}{\cot{\left (2 x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} + \frac{6}{\cot{\left (2 x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} + 4 \sin{\left (\log{\left (\cot{\left (2 x \right )} \right )} \right )} \cot{\left (2 x \right )}\right)$$