Производная cos(1/(log(x)))

Вы ввели

   /  1   \
cos|------|
   \log(x)/

$$\cos{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{\log{\left (x \right )}}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left (x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   /  1   \
sin|------|
   \log(x)/
-----------
      2    
 x*log (x) 

$$\frac{\sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /   /  1   \        /  1   \              \ 
 |cos|------|   2*sin|------|              | 
 |   \log(x)/        \log(x)/      /  1   \| 
-|----------- + ------------- + sin|------|| 
 |     2            log(x)         \log(x)/| 
 \  log (x)                                / 
---------------------------------------------
                   2    2                    
                  x *log (x)                 

$$- \frac{1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )} + \frac{2 \sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log{\left (x \right )}} + \frac{\cos{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                   /  1   \        /  1   \        /  1   \        /  1   \        /  1   \
                sin|------|   3*cos|------|   6*sin|------|   6*cos|------|   6*sin|------|
     /  1   \      \log(x)/        \log(x)/        \log(x)/        \log(x)/        \log(x)/
2*sin|------| - ----------- + ------------- + ------------- + ------------- + -------------
     \log(x)/        4              2             log(x)            3               2      
                  log (x)        log (x)                         log (x)         log (x)   
-------------------------------------------------------------------------------------------
                                          3    2                                           
                                         x *log (x)                                        

$$\frac{1}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} \left(2 \sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )} + \frac{6 \sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \cos{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{3}{\left (x \right )}} - \frac{\sin{\left (\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \right )}}{\log^{4}{\left (x \right )}}\right)$$