Производная cos(1/x)^(2)

Вы ввели

   2/1\
cos |-|
    \x/

$$\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

Первая производная

     /1\    /1\
2*cos|-|*sin|-|
     \x/    \x/
---------------
        2      
       x       

$$\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

  /   2/1\      2/1\                  \
  |sin |-|   cos |-|                  |
  |    \x/       \x/        /1\    /1\|
2*|------- - ------- - 2*cos|-|*sin|-||
  \   x         x           \x/    \x//
---------------------------------------
                    3                  
                   x                   

$$\frac{1}{x^{3}} \left(- 4 \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{2}{x} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{2}{x} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2/1\        2/1\                          /1\    /1\\
  |  3*sin |-|   3*cos |-|                     2*cos|-|*sin|-||
  |        \x/         \x/        /1\    /1\        \x/    \x/|
4*|- --------- + --------- + 3*cos|-|*sin|-| - ---------------|
  |      x           x            \x/    \x/           2      |
  \                                                   x       /
---------------------------------------------------------------
                                4                              
                               x                               

$$\frac{1}{x^{4}} \left(12 \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{12}{x} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{12}{x} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{8}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$