Производная cos(sin(x/pi))

Вы ввели

   /   /x \\
cos|sin|--||
   \   \pi//

$$\cos{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{\pi}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{\pi}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{\pi}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{\pi} \cos{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{\pi} \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} \cos{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\pi} \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} \cos{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$

Первая производная

    /x \    /   /x \\ 
-cos|--|*sin|sin|--|| 
    \pi/    \   \pi// 
----------------------
          pi          

$$- \frac{1}{\pi} \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} \cos{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$$

Вторая производная

   /x \    /   /x \\      2/x \    /   /x \\
sin|--|*sin|sin|--|| - cos |--|*cos|sin|--||
   \pi/    \   \pi//       \pi/    \   \pi//
--------------------------------------------
                      2                     
                    pi                      

$$\frac{1}{\pi^{2}} \left(\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )}\right)$$

Третья производная

/   2/x \    /   /x \\        /   /x \\    /x \      /   /x \\\    /x \
|cos |--|*sin|sin|--|| + 3*cos|sin|--||*sin|--| + sin|sin|--|||*cos|--|
\    \pi/    \   \pi//        \   \pi//    \pi/      \   \pi///    \pi/
-----------------------------------------------------------------------
                                    3                                  
                                  pi                                   

$$\frac{1}{\pi^{3}} \left(3 \sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \cos{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{\pi} \right )} + \sin{\left (\sin{\left (\frac{x}{\pi} \right )} \right )}\right) \cos{\left (\frac{x}{\pi} \right )}$$

График