Производная cos(sin(x))-cos(x)

Вы ввели

cos(sin(x)) - cos(x)

$$- \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

   В результате: $\sin{\left (x \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\sin{\left (x \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$

Первая производная

-cos(x)*sin(sin(x)) + sin(x)

$$\sin{\left (x \right )} - \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                        2                        
sin(x)*sin(sin(x)) - cos (x)*cos(sin(x)) + cos(x)

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

             3                                                                  
-sin(x) + cos (x)*sin(sin(x)) + cos(x)*sin(sin(x)) + 3*cos(x)*cos(sin(x))*sin(x)

$$3 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )}$$