Производная (cos(t)^2)*t

Вы ввели

   2     
cos (t)*t

$$t \cos^{2}{\left(t \right)}$$

d /   2     \
--\cos (t)*t/
dt           

$$\frac{d}{d t} t \cos^{2}{\left(t \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

   $f{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(t \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$

   $g{\left(t \right)} = t$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   В результате: $- 2 t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- t \sin{\left(2 t \right)} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

---

Ответ:

$- t \sin{\left(2 t \right)} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

Первая производная

   2                       
cos (t) - 2*t*cos(t)*sin(t)

$$- 2 t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}$$

Вторая производная

  /  /   2         2   \                  \
2*\t*\sin (t) - cos (t)/ - 2*cos(t)*sin(t)/

$$2 \left(t \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) - 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)$$

Третья производная

  /       2           2                       \
2*\- 3*cos (t) + 3*sin (t) + 4*t*cos(t)*sin(t)/

$$2 \cdot \left(4 t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 3 \sin^{2}{\left(t \right)} - 3 \cos^{2}{\left(t \right)}\right)$$

График