Производная cos(tan(x))^(2)

Вы ввели

   2        
cos (tan(x))

$$\cos^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \sin{\left (2 \tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \sin{\left (2 \tan{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

   /       2   \                        
-2*\1 + tan (x)/*cos(tan(x))*sin(tan(x))

$$- 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

  /       2   \ /   2         /       2   \      2         /       2   \                                   \
2*\1 + tan (x)/*\sin (tan(x))*\1 + tan (x)/ - cos (tan(x))*\1 + tan (x)/ - 2*cos(tan(x))*sin(tan(x))*tan(x)/

$$2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 2 \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

                /                                                                                                                                   2                                                              \
  /       2   \ |  /       2   \                                2         /       2   \               2                                /       2   \                                 2         /       2   \       |
4*\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/*cos(tan(x))*sin(tan(x)) - 3*cos (tan(x))*\1 + tan (x)/*tan(x) - 2*tan (x)*cos(tan(x))*sin(tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/ *cos(tan(x))*sin(tan(x)) + 3*sin (tan(x))*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )} - \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} - 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}\right)$$