Производная cos(x)/(pi-x)

Вы ввели

cos(x)
------
pi - x

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{- x + \pi}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - x + \pi$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + \pi$ почленно:

      1. Производная постоянной $\pi$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- x + \pi\right)^{2}} \left(- \left(- x + \pi\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - \pi\right)^{2}} \left(\left(x - \pi\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - \pi\right)^{2}} \left(\left(x - \pi\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  cos(x)    sin(x)
--------- - ------
        2   pi - x
(pi - x)          

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{- x + \pi} + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(- x + \pi\right)^{2}}$$

Вторая производная

  2*sin(x)    2*cos(x)         
- -------- - --------- + cos(x)
   x - pi            2         
             (x - pi)          
-------------------------------
             x - pi            

$$\frac{1}{x - \pi} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x - \pi} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\left(x - \pi\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

          3*cos(x)    6*cos(x)    6*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------- + ---------
           x - pi            3           2
                     (x - pi)    (x - pi) 
------------------------------------------
                  x - pi                  

$$\frac{1}{x - \pi} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{x - \pi} + \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\left(x - \pi\right)^{2}} + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\left(x - \pi\right)^{3}}\right)$$