Производная cos(x/(2+x))

Вы ввели

   /  x  \
cos|-----|
   \2 + x/

$$\cos{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{x + 2}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}$

Первая производная

 /  1        x    \    /  x  \
-|----- - --------|*sin|-----|
 |2 + x          2|    \2 + x/
 \        (2 + x) /           

$$- \left(- \frac{x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x + 2}\right) \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}$$

Вторая производная

 /       x  \ /     /  x  \   /       x  \    /  x  \\ 
-|-1 + -----|*|2*sin|-----| + |-1 + -----|*cos|-----|| 
 \     2 + x/ \     \2 + x/   \     2 + x/    \2 + x// 
-------------------------------------------------------
                               2                       
                        (2 + x)                        

$$- \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(\left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \cos{\left (\frac{x}{x + 2} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}\right)$$

Третья производная

             /                           2                                       \
/       x  \ |     /  x  \   /       x  \     /  x  \     /       x  \    /  x  \|
|-1 + -----|*|6*sin|-----| - |-1 + -----| *sin|-----| + 6*|-1 + -----|*cos|-----||
\     2 + x/ \     \2 + x/   \     2 + x/     \2 + x/     \     2 + x/    \2 + x//
----------------------------------------------------------------------------------
                                            3                                     
                                     (2 + x)                                      

$$\frac{1}{\left(x + 2\right)^{3}} \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \left(- \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right)^{2} \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )} + 6 \left(\frac{x}{x + 2} - 1\right) \cos{\left (\frac{x}{x + 2} \right )} + 6 \sin{\left (\frac{x}{x + 2} \right )}\right)$$