Производная cos(x/2)^2

Вы ввели

   2/x\
cos |-|
    \2/

$$\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /   2/x\\
--|cos |-||
dx\    \2//

$$\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   В результате последовательности правил:

   $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

Первая производная

    /x\    /x\
-cos|-|*sin|-|
    \2/    \2/

$$- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Вторая производная

   2/x\      2/x\
sin |-| - cos |-|
    \2/       \2/
-----------------
        2        

$$\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Третья производная

   /x\    /x\
cos|-|*sin|-|
   \2/    \2/

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

График