Производная cos(x)/e^x

Вы ввели

cos(x)
------
   x  
  e   

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{e^{x}}$$

d /cos(x)\
--|------|
dx|   x  |
  \  e   /

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{e^{x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

---

Ответ:

$- \sqrt{2} e^{- x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Первая производная

          -x    -x       
- cos(x)*e   - e  *sin(x)

$$- e^{- x} \sin{\left(x \right)} - e^{- x} \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

   -x       
2*e  *sin(x)

$$2 e^{- x} \sin{\left(x \right)}$$

Третья производная

                      -x
2*(-sin(x) + cos(x))*e  

$$2 \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$

График