Производная cos(x)/(1-sin(x))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
1 - sin(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

      2                   
   cos (x)        sin(x)  
------------- - ----------
            2   1 - sin(x)
(1 - sin(x))              

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 1} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/                         2      \       
|      3*sin(x)      2*cos (x)   |       
|1 - ----------- - --------------|*cos(x)
|    -1 + sin(x)                2|       
\                  (-1 + sin(x)) /       
-----------------------------------------
               -1 + sin(x)               

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(1 - \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} - \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

                2             2              4               2          
           4*cos (x)     3*sin (x)      6*cos (x)      12*cos (x)*sin(x)
-sin(x) - ----------- + ----------- + -------------- + -----------------
          -1 + sin(x)   -1 + sin(x)                3                  2 
                                      (-1 + sin(x))      (-1 + sin(x))  
------------------------------------------------------------------------
                              -1 + sin(x)                               

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} - \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} + \frac{12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} + \frac{6 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}\right)$$