Производная cos(x)/(1-x)

Вы ввели

cos(x)
------
1 - x 

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - x}$$

d /cos(x)\
--|------|
dx\1 - x /

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x - 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(x - 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

 cos(x)    sin(x)
-------- - ------
       2   1 - x 
(1 - x)          

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - x} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$

Вторая производная

  2*sin(x)    2*cos(x)         
- -------- - --------- + cos(x)
   -1 + x            2         
             (-1 + x)          
-------------------------------
             -1 + x            

$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}$$

Третья производная

          3*cos(x)    6*cos(x)    6*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------- + ---------
           -1 + x            3           2
                     (-1 + x)    (-1 + x) 
------------------------------------------
                  -1 + x                  

$$\frac{- \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{3}}}{x - 1}$$

График