Производная cos(x)/(1+cos(x))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
1 + cos(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    sin(x)     cos(x)*sin(x)
- ---------- + -------------
  1 + cos(x)               2
               (1 + cos(x)) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} + \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

              2             2            2          
           cos (x)     2*sin (x)    2*sin (x)*cos(x)
-cos(x) + ---------- - ---------- + ----------------
          1 + cos(x)   1 + cos(x)                2  
                                     (1 + cos(x))   
----------------------------------------------------
                     1 + cos(x)                     

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/                        2               2             2          \       
|     7*cos(x)      6*sin (x)       6*cos (x)     6*sin (x)*cos(x)|       
|1 - ---------- - ------------- + ------------- + ----------------|*sin(x)
|    1 + cos(x)               2               2                3  |       
\                 (1 + cos(x))    (1 + cos(x))     (1 + cos(x))   /       
--------------------------------------------------------------------------
                                1 + cos(x)                                

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} \left(1 - \frac{7 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} + 1} - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}\right)$$