Производная (cos(x))/(1+(sin(x)))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
1 + sin(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\1 + sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $\cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin{\left(x \right)} + 1}$

Первая производная

                     2      
    sin(x)        cos (x)   
- ---------- - -------------
  1 + sin(x)               2
               (1 + sin(x)) 

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/          2                          \       
|     2*cos (x)                       |       
|     ---------- + sin(x)             |       
|     1 + sin(x)             2*sin(x) |       
|-1 + ------------------- + ----------|*cos(x)
\          1 + sin(x)       1 + sin(x)/       
----------------------------------------------
                  1 + sin(x)                  

$$\frac{\left(-1 + \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}}{\sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

Третья производная

                     /                         2     \                                          
                2    |      6*sin(x)      6*cos (x)  |     /     2             \                
             cos (x)*|-1 + ---------- + -------------|     |2*cos (x)          |                
     2               |     1 + sin(x)               2|   3*|---------- + sin(x)|*sin(x)         
3*cos (x)            \                  (1 + sin(x)) /     \1 + sin(x)         /                
---------- - ----------------------------------------- - ------------------------------ + sin(x)
1 + sin(x)                   1 + sin(x)                            1 + sin(x)                   
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                           1 + sin(x)                                           

$$\frac{\sin{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} - \frac{\left(-1 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}}{\sin{\left(x \right)} + 1}$$

График