Производная cos(x)/(sin(x)-1)

Вы ввели

  cos(x)  
----------
sin(x) - 1

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $\cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(- \left(\sin{\left (x \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1}$

Первая производная

                     2      
    sin(x)        cos (x)   
- ---------- - -------------
  sin(x) - 1               2
               (sin(x) - 1) 

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                    \       
|       2*cos (x)        3*sin(x) |       
|-1 + -------------- + -----------|*cos(x)
|                  2   -1 + sin(x)|       
\     (-1 + sin(x))               /       
------------------------------------------
               -1 + sin(x)                

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

         4               2             2             2                   
    6*cos (x)       3*sin (x)     4*cos (x)    12*cos (x)*sin(x)         
- -------------- - ----------- + ----------- - ----------------- + sin(x)
               3   -1 + sin(x)   -1 + sin(x)                  2          
  (-1 + sin(x))                                  (-1 + sin(x))           
-------------------------------------------------------------------------
                               -1 + sin(x)                               

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} - 1} \left(\sin{\left (x \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} - \frac{12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}\right)$$