Производная cos(x/3)^(4)

Вы ввели

   4/x\
cos |-|
    \3/

$$\cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{4}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

Первая производная

      3/x\    /x\
-4*cos |-|*sin|-|
       \3/    \3/
-----------------
        3        

$$- \frac{4}{3} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

     2/x\ /     2/x\        2/x\\
4*cos |-|*|- cos |-| + 3*sin |-||
      \3/ \      \3/         \3//
---------------------------------
                9                

$$\frac{4}{9} \left(3 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Третья производная

  /       2/x\        2/x\\    /x\    /x\
8*|- 3*sin |-| + 5*cos |-||*cos|-|*sin|-|
  \        \3/         \3//    \3/    \3/
-----------------------------------------
                    27                   

$$\frac{8}{27} \left(- 3 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 5 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$