Производная cos(x)/x

Вы ввели

cos(x)
------
  x   

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$

d /cos(x)\
--|------|
dx\  x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

  sin(x)   cos(x)
- ------ - ------
    x         2  
             x   

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

          2*sin(x)   2*cos(x)
-cos(x) + -------- + --------
             x           2   
                        x    
-----------------------------
              x              

$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}$$

Третья производная

  6*cos(x)   6*sin(x)   3*cos(x)         
- -------- - -------- + -------- + sin(x)
      3          2         x             
     x          x                        
-----------------------------------------
                    x                    

$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}}}{x}$$

График