Производная (cos(x))/(x-1)

Вы ввели

cos(x)
------
x - 1 

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x - 1}$$

d /cos(x)\
--|------|
dx\x - 1 /

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \left(x - 1\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\left(1 - x\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

  sin(x)    cos(x) 
- ------ - --------
  x - 1           2
           (x - 1) 

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

          2*sin(x)    2*cos(x)
-cos(x) + -------- + ---------
           -1 + x            2
                     (-1 + x) 
------------------------------
            -1 + x            

$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x - 1} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}$$

Третья производная

   6*cos(x)    6*sin(x)   3*cos(x)         
- --------- - --------- + -------- + sin(x)
          3           2    -1 + x          
  (-1 + x)    (-1 + x)                     
-------------------------------------------
                   -1 + x                  

$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{3}}}{x - 1}$$

График