Производная cos(x)-log(cos(x))

Вы ввели

cos(x) - log(cos(x))

$$- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \sin{\left (x \right )} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \sin{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \sin{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

          sin(x)
-sin(x) + ------
          cos(x)

$$- \sin{\left (x \right )} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                2   
             sin (x)
1 - cos(x) + -------
                2   
             cos (x)

$$\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - \cos{\left (x \right )} + 1$$

Третья производная

/                  2   \       
|      2      2*sin (x)|       
|1 + ------ + ---------|*sin(x)
|    cos(x)       3    |       
\              cos (x) /       

$$\left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + 1 + \frac{2}{\cos{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$$