Производная cos(x)-tan(x)

Вы ввели

cos(x) - tan(x)

$$\cos{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$$

d                  
--(cos(x) - tan(x))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

        2            
-1 - tan (x) - sin(x)

$$- \sin{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} - 1$$

Вторая производная

 /  /       2   \                \
-\2*\1 + tan (x)/*tan(x) + cos(x)/

$$- (2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)})$$

Третья производная

                 2                                   
    /       2   \         2    /       2   \         
- 2*\1 + tan (x)/  - 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ + sin(x)

$$- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$

График