Производная cos(x)+cot(x/2)

Вы ввели

            /x\
cos(x) + cot|-|
            \2/

$$\cos{\left (x \right )} + \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$ почленно:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате: $- \frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} - \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{- \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} - 1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

Первая производная

                  2/x\
               cot |-|
  1                \2/
- - - sin(x) - -------
  2               2   

$$- \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{2}$$

Вторая производная

          /       2/x\\    /x\
          |1 + cot |-||*cot|-|
          \        \2//    \2/
-cos(x) + --------------------
                   2          

$$\frac{1}{2} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{2} \right )} - \cos{\left (x \right )}$$

Третья производная

               2                                 
  /       2/x\\       2/x\ /       2/x\\         
  |1 + cot |-||    cot |-|*|1 + cot |-||         
  \        \2//        \2/ \        \2//         
- -------------- - --------------------- + sin(x)
        4                    2                   

$$- \frac{1}{4} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} - \frac{1}{2} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \sin{\left (x \right )}$$