Производная cos((x+1)/(x-1))

Вы ввели

   /x + 1\
cos|-----|
   \x - 1/

$$\cos{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x + 1}{x - 1}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}$

Первая производная

 /  1      x + 1  \    /x + 1\
-|----- - --------|*sin|-----|
 |x - 1          2|    \x - 1/
 \        (x - 1) /           

$$- \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}$$

Вторая производная

/    1 + x \ /     /1 + x \   /    1 + x \    /1 + x \\
|1 - ------|*|2*sin|------| - |1 - ------|*cos|------||
\    -1 + x/ \     \-1 + x/   \    -1 + x/    \-1 + x//
-------------------------------------------------------
                               2                       
                       (-1 + x)                        

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(- \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \cos{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )} + 2 \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}\right)$$

Третья производная

             /                              2                                         \
/    1 + x \ |       /1 + x \   /    1 + x \     /1 + x \     /    1 + x \    /1 + x \|
|1 - ------|*|- 6*sin|------| + |1 - ------| *sin|------| + 6*|1 - ------|*cos|------||
\    -1 + x/ \       \-1 + x/   \    -1 + x/     \-1 + x/     \    -1 + x/    \-1 + x//
---------------------------------------------------------------------------------------
                                               3                                       
                                       (-1 + x)                                        

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right)^{2} \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )} + 6 \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \cos{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )} - 6 \sin{\left (\frac{x + 1}{x - 1} \right )}\right)$$