Производная cos(x)*sin(x)

Вы ввели

cos(x)*sin(x)

$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

d                
--(cos(x)*sin(x))
dx               

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left(2 x \right)}$

---

Ответ:

$\cos{\left(2 x \right)}$

Первая производная

   2         2   
cos (x) - sin (x)

$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

-4*cos(x)*sin(x)

$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Третья производная

  /   2         2   \
4*\sin (x) - cos (x)/

$$4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$

График