Производная (cos(x))^e^4

Вы ввели

        / 4\
        \E /
(cos(x))    

$$\cos^{e^{4}}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{e^{4}}$ получим $\frac{u^{e^{4}} e^{4}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{4} \cos^{e^{4}}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- e^{4} \sin{\left (x \right )} \cos^{-1 + e^{4}}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- e^{4} \sin{\left (x \right )} \cos^{-1 + e^{4}}{\left (x \right )}$

Первая производная

         / 4\           
         \E /  4        
-(cos(x))    *e *sin(x) 
------------------------
         cos(x)         

$$- \frac{e^{4} \cos^{e^{4}}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

        / 4\ /        2         2     4\   
        \e / |     sin (x)   sin (x)*e |  4
(cos(x))    *|-1 - ------- + ----------|*e 
             |        2          2     |   
             \     cos (x)    cos (x)  /   

$$\left(- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{e^{4} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - 1\right) e^{4} \cos^{e^{4}}{\left (x \right )}$$

Третья производная

        / 4\ /                 2         2     8        2     4\          
        \e / |        4   2*sin (x)   sin (x)*e    3*sin (x)*e |  4       
(cos(x))    *|-2 + 3*e  - --------- - ---------- + ------------|*e *sin(x)
             |                2           2             2      |          
             \             cos (x)     cos (x)       cos (x)   /          
--------------------------------------------------------------------------
                                  cos(x)                                  

$$\frac{e^{4} \cos^{e^{4}}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{e^{8} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 e^{4} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - 2 + 3 e^{4}\right) \sin{\left (x \right )}$$