Производная cos(x)^n

Вы ввели

   n   
cos (x)

$$\cos^{n}{\left(x \right)}$$

d /   n   \
--\cos (x)/
dx         

$$\frac{\partial}{\partial x} \cos^{n}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{n \sin{\left(x \right)} \cos^{n}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- n \sin{\left(x \right)} \cos^{n - 1}{\left(x \right)}$

---

Ответ:

$- n \sin{\left(x \right)} \cos^{n - 1}{\left(x \right)}$

Первая производная

      n           
-n*cos (x)*sin(x) 
------------------
      cos(x)      

$$- \frac{n \sin{\left(x \right)} \cos^{n}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

          /        2           2   \
     n    |     sin (x)   n*sin (x)|
n*cos (x)*|-1 - ------- + ---------|
          |        2          2    |
          \     cos (x)    cos (x) /

$$n \left(\frac{n \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \cos^{n}{\left(x \right)}$$

Третья производная

          /                2       2    2             2   \       
     n    |           2*sin (x)   n *sin (x)   3*n*sin (x)|       
n*cos (x)*|-2 + 3*n - --------- - ---------- + -----------|*sin(x)
          |               2           2             2     |       
          \            cos (x)     cos (x)       cos (x)  /       
------------------------------------------------------------------
                              cos(x)                              

$$\frac{n \left(- \frac{n^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 n \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 3 n - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 2\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{n}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$