Производная cot(pi-1/x)

Вы ввели

   /     1\
cot|pi - -|
   \     x/

$$\cot{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \pi - \frac{1}{x}$.

   2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\pi - \frac{1}{x}\right)$:

      1. дифференцируем $\pi - \frac{1}{x}$ почленно:

         1. Производная постоянной $\pi$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

         В результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

        2/     1\
-1 - cot |pi - -|
         \     x/
-----------------
         2       
        x        

$$\frac{1}{x^{2}} \left(- \cot^{2}{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

                     /       /     1\\
                     |    cot|pi - -||
  /       2/     1\\ |       \     x/|
2*|1 + cot |pi - -||*|1 + -----------|
  \        \     x// \         x     /
--------------------------------------
                   3                  
                  x                   

$$\frac{2}{x^{3}} \left(1 + \frac{1}{x} \cot{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                      /           2/     1\        2/     1\        /     1\\
                      |    1 + cot |pi - -|   2*cot |pi - -|   6*cot|pi - -||
   /       2/     1\\ |            \     x/         \     x/        \     x/|
-2*|1 + cot |pi - -||*|3 + ---------------- + -------------- + -------------|
   \        \     x// |            2                 2               x      |
                      \           x                 x                       /
-----------------------------------------------------------------------------
                                       4                                     
                                      x                                      

$$- \frac{2}{x^{4}} \left(\cot^{2}{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 + \frac{6}{x} \cot{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x^{2}} \cot^{2}{\left (\pi - \frac{1}{x} \right )}\right)$$