Производная cot(pi*x/2)

Вы ввели

   /pi*x\
cot|----|
   \ 2  /

$$\cot{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$.

   2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\pi$

         Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\pi}{2 \sin^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\pi}{\left(\cos{\left (\pi x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi}{\left(\cos{\left (\pi x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}}$

Первая производная

   /        2/pi*x\\
pi*|-1 - cot |----||
   \         \ 2  //
--------------------
         2          

$$\frac{\pi}{2} \left(- \cot^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

  2 /       2/pi*x\\    /pi*x\
pi *|1 + cot |----||*cot|----|
    \        \ 2  //    \ 2  /
------------------------------
              2               

$$\frac{\pi^{2}}{2} \left(\cot^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{\pi x}{2} \right )}$$

Третья производная

   3 /       2/pi*x\\ /         2/pi*x\\ 
-pi *|1 + cot |----||*|1 + 3*cot |----|| 
     \        \ 2  // \          \ 2  // 
-----------------------------------------
                    4                    

$$- \frac{\pi^{3}}{4} \left(\cot^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left (\frac{\pi x}{2} \right )} + 1\right)$$