Производная cot(cbrt(x))

Вы ввели

   /3 ___\
cot\\/ x /

$$\cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \sqrt[3]{x}$.

   2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

Первая производная

        2/3 ___\
-1 - cot \\/ x /
----------------
        2/3     
     3*x        

$$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \left(- \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/3 ___\\ /  1        /3 ___\\
2*\1 + cot \\/ x //*|----- + cot\\/ x /|
                    |3 ___             |
                    \\/ x              /
----------------------------------------
                    4/3                 
                 9*x                    

$$\frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} \left(\cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                     /              2/3 ___\        2/3 ___\        /3 ___\\
   /       2/3 ___\\ | 5     1 + cot \\/ x /   2*cot \\/ x /   6*cot\\/ x /|
-2*\1 + cot \\/ x //*|---- + --------------- + ------------- + ------------|
                     | 8/3           2                2             7/3    |
                     \x             x                x             x       /
----------------------------------------------------------------------------
                                     27                                     

$$- \frac{2}{27} \left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x^{2}} \cot^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{6}{x^{\frac{7}{3}}} \cot{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{5}{x^{\frac{8}{3}}}\right)$$