Производная cot(1/x)

Вы ввели

   /  1\
cot|1*-|
   \  x/

$$\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

d /   /  1\\
--|cot|1*-||
dx\   \  x//

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

            1. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Теперь применим правило производной деления:

               $- \frac{1}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

            1. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Теперь применим правило производной деления:

               $- \frac{1}{x^{2}}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Первая производная

 /        2/  1\\ 
-|-1 - cot |1*-|| 
 \         \  x// 
------------------
         2        
        x         

$$- \frac{- \cot^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - 1}{x^{2}}$$

Вторая производная

                /        /1\\
                |     cot|-||
  /       2/1\\ |        \x/|
2*|1 + cot |-||*|-1 + ------|
  \        \x// \       x   /
-----------------------------
               3             
              x              

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

                /           2/1\        /1\        2/1\\
                |    1 + cot |-|   6*cot|-|   2*cot |-||
  /       2/1\\ |            \x/        \x/         \x/|
2*|1 + cot |-||*|3 + ----------- - -------- + ---------|
  \        \x// |          2          x            2   |
                \         x                       x    /
--------------------------------------------------------
                            4                           
                           x                            

$$\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(3 - \frac{6 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1}{x^{2}} + \frac{2 \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График