Производная cot(1/x)^(2)

Вы ввели

   2/1\
cot |-|
    \x/

$$\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}}{x^{2} \sin^{3}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}}{x^{2} \sin^{3}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

   /        2/1\\    /1\
-2*|-1 - cot |-||*cot|-|
   \         \x//    \x/
------------------------
            2           
           x            

$$- \frac{2}{x^{2}} \left(- \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - 1\right) \cot{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

                /                    2/1\        2/1\\
                |             1 + cot |-|   2*cot |-||
  /       2/1\\ |       /1\           \x/         \x/|
2*|1 + cot |-||*|- 2*cot|-| + ----------- + ---------|
  \        \x// \       \x/        x            x    /
------------------------------------------------------
                           3                          
                          x                           

$$\frac{2}{x^{3}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(- 2 \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x} \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

                /                2/1\     /       2/1\\        3/1\     /       2/1\\    /1\\
                |           6*cot |-|   3*|1 + cot |-||   2*cot |-|   4*|1 + cot |-||*cot|-||
  /       2/1\\ |     /1\         \x/     \        \x//         \x/     \        \x//    \x/|
4*|1 + cot |-||*|3*cot|-| - --------- - --------------- + --------- + ----------------------|
  \        \x// |     \x/       x              x               2                 2          |
                \                                             x                 x           /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                               4                                             
                                              x                                              

$$\frac{4}{x^{4}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x} \left(3 \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 3\right) - \frac{6}{x} \cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{4}{x^{2}} \left(\cot^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{2}{x^{2}} \cot^{3}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$