Производная cot(x/2)^(3)

Вы ввели

   3/x\
cot |-|
    \2/

$$\cot^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \left(\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

Первая производная

        /           2/x\\
        |      3*cot |-||
   2/x\ |  3         \2/|
cot |-|*|- - - ---------|
    \2/ \  2       2    /

$$\left(- \frac{3}{2} \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{3}{2}\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/x\\ /         2/x\\    /x\
3*|1 + cot |-||*|1 + 2*cot |-||*cot|-|
  \        \2// \          \2//    \2/
--------------------------------------
                  2                   

$$\frac{3}{2} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

                 /             2                                      \
   /       2/x\\ |/       2/x\\         4/x\        2/x\ /       2/x\\|
-3*|1 + cot |-||*||1 + cot |-||  + 2*cot |-| + 7*cot |-|*|1 + cot |-|||
   \        \2// \\        \2//          \2/         \2/ \        \2///
-----------------------------------------------------------------------
                                   4                                   

$$- \frac{3}{4} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2} + 7 \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 2 \cot^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right)$$