Производная cot(x)/6*x

Вы ввели

cot(x)  
------*x
  6     

$$x \frac{1}{6} \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x \cot{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 6$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{6 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{6} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x}{6 \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{6 \tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{6 \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{6 \tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

  /         2   \         
  |  1   cot (x)|   cot(x)
x*|- - - -------| + ------
  \  6      6   /     6   

$$x \left(- \frac{1}{6} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{6}\right) + \frac{1}{6} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

        2        /       2   \       
-1 - cot (x) + x*\1 + cot (x)/*cot(x)
-------------------------------------
                  3                  

$$\frac{1}{3} \left(x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)$$

Третья производная

/       2   \                                           
|1   cot (x)| /             /       2   \          2   \
|- + -------|*\3*cot(x) - x*\1 + cot (x)/ - 2*x*cot (x)/
\3      3   /                                           

$$\left(\frac{1}{3} \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{3}\right) \left(- x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - 2 x \cot^{2}{\left (x \right )} + 3 \cot{\left (x \right )}\right)$$